Звісно, Оксана може у своєму «єхидстві» на цьому не зупинитись і відзначити, що поки що, власне, ніякої корисної моделі немає, і час згадати відому пісеньку: «…Все слова, слова, слова». І буде права і ...неправа. Права, коли визначить, що таке «корисність», або «вартість» (і тоді їй доведеться подискутувати з Марксом і його прихильниками, що, як показала історія, пов’язано зі значним ризиком), і неправа, оскільки кожне поняття — це позначення якоїсь моделі, щодо корисності якої можна зробити висновок, прочитавши книгу до кінця (ризику все ж менше), якщо вона не прочитала спочатку, де я цього ризику не злякався. 2.2.3. Формалізуємось далі… МАМА І МАГ Цікаво, що вже зараз суто формально ми можемо дістати деякі діаграми, що попри всю їхню абстрактність наочно ілюструють первинні і часто використовувані слова і вирази. Розглянемо, наприклад, множини діаграм типу (3) з підрозд. 2.2.2 при дещо змінених позначеннях. Суть наступних позначень інтуїтивно очевидна — якась кількість моделей відповідно до діаграми (3) зменшується за рахунок абстракції до якоїсь меншої кількості (не обов’язково однієї моделі), тобто можна було б записати: MCi > CMk, i = 1,…, m, k = 1,…, n, де n ? m. Тут відома кількість «вихідних» і «кінцевих» моделей (М-по-нять): |{МС}| = m і |{СМ}| = n (нагадаємо, що фігурні дужки означають множину відповідних систем, а прямі дужки — кількість елементів цієї множини). Якщо не виникатиме непорозумінь, надалі вважатимемо, що МС і СМ означають відповідні множини (тобто не завжди ставитимуться фігурні дужки). Очевидно, що для кожного індексу k із множини СМ існує своя множина індексів i, що складається з деяких значень i, які відображуються на якесь одне k. Позначимо цю множину індексів МС так: Назвемо цю множину відповідних МС множиною СМk-позначених або, якщо відомо, про яку СМk йдеться, просто k-по¬значених (або СМk (k)-розфарбованих) елементів МС, а кожний її елемент МСi — відповідно, i-k-позначеним (розфарбованим). Кількість елементів цієї множини залежить від індексу k, тобто |{ik}|=mk, а самі елементи (індекси) цієї множини також можуть бути різними для різних k. Іншими словами, згідно з діаграмою (3) якась підмножина МС, що складається з деякої кількості (mk) елементів, що індексуються множиною {ik}, відображується на одну модель k із множини СМ. Назвемо цю СМk k-класом, а її назву (М-по¬няття) — атрибутом, або ознакою, цього класу. Тобто, в нашому випадку існує n класів СМk, у кожному з яких міститься відповідно mk елементів МС. Важливо зазначити, що різні класи можуть мати спільні елементи (тобто в загальному випадку розглянуте відношення — не еквівалентність — див. розділ 2.5). Аналогічно введемо поняття і-визначальної множини атрибутів, які визначають якийсь елемент МСі. Тобто, елемент МСі із МС може «проектуватиcь» на різні елементи СМ. Ці елементи утворюють підмножину множини всіх елементів СМ, що й називається і-визначальною. Кількість елементів цієї підмножини аналогічно до попереднього позначимо ni. Найпростіші приклади. Нехай МС — це студенти КНЕУ, а СМ — набір навчальних дисциплін. Тоді k-позначеною буде група студентів, яка вивчає дисципліну СМk. З іншого боку, усі дисципліни, що їх вивчає будь-який і-й студент МСі, є і-визна-чальними. Два зауваження. 1. У принципі деякі класи k-позначених елементів МС можуть бути порожніми, тобто для таких класів mk = 0, але це, звісно, не завжди означає, що порожньою є вся множина МС. У загальному випадку інтерпретація «порожнечі» тієї чи іншої мно¬жини пов’язана з інтерпретацією «стрілочок» — морфізмів, зокрема як імплікацій. 2. Можливо також, що в деяких або навіть в усіх класах міститься нескінченна кількість елементів при відповідних значеннях m і n. Ми обмежимось поки що тим, що друге зауваження вважатимемо хибним, тобто кількість МС і СМ будемо вважати цілою і скінченною. Взагалі, неважко побачити, що задача класифікації тісно пов’язана з цією схемою, з тією відмінністю, що в ній класи можуть перекриватись і, в принципі, складатися з інших елементів, оскільки МС і СМ у загальному випадку — різні системи (з іншими схемами, що безпосередньо пов’язані з даною, ми з читачем будемо зустрічатися в наступних розділах). Якщо звернутися до матриці Анни (підрозд. 2.1.1), то можна щойно написане подати і у вигляді прямокутної матриці з m рядками і n стовпцями — матриці Анни моделі агрегації (скорочено МАМА, а може переставити дві двійки слів? МАМА — залишиться), яка відрізняється від «первісної» матриці Анни тим, що йдеться вже не просто про послідовність альтернатив, а про взаємозв’язок модельованих і моделюючих систем, які… звісно, всі — моделі (СІ), оскільки не моделі нам не відомі. На відміну від «первісної» матриці Анни МАМА — не квадратна матриця, тому, строго кажучи, не можна говорити про неї як про матрицю суміжності. Та коли інтерпретувати цей граф як «дводольний» (див., наприклад [78]), великої помилки за такої інтерпретації не буде. Зрозуміло, що вибір того чи іншого співвідношення в МАМА теж можна інтерпретувати як вибір тих чи інших альтернатив, але… все ж нехай читач подумає. Враховуючи все це, а також ще дещо, я залишив ті самі позначення елементів, що й у «вихідній» матриці Анни: ?1, 1?, ?1, 2?,............., ?1, n? ?2, 1?, ?2, 2?,............., ?2, n? .........................................… . ........................................... ?m, 1?,?m, 2?,..........., ?m, n? Нагадаю, що значення ?i, k? = 1 (для i = 1,…, m, k = 1,…, n) означає, що між елементами i та k існує зв’язок, який графічно позначається напрямленою стрілочкою від i до k. Якщо ж ?i, k? = 0, то такого зв’язку немає. Що стосується інтерпретації стрілочок, то вона в принципі може бути різною, та в даному контексті ми беремо її, виходячи з міркувань, висловлених раніше. У МАМА вищенаведені міркування щодо агрегації МС у СМ можна подати, напевне, у більш наочній формі. Так, одиниці, котрі стоять у якомусь k-му стовпці МАМА, визначають множину k-позначених МC, а їхня кількість дорівнює mk. Водночас одиниці, що стоять в і-му рядку, визначають підмножину СМ, що являє собою і-визначальну підмножину для МСі, кількість елементів якої становить ni. У принципі, на основі цієї матриці (яка, як уже зазначалось, може розглядатися і як «матриця суміжності») можна побудувати відповідну модель агрегаційного графа (МАГ), що може бути наочною моделлю процесу агрегації, зокрема при вирішенні конкретних задач і завдань. Важливо наголосити в цьому випадку на множинності зв’язку між елементами множин МС і СМ. Мова йде про таку процедуру: у МАМА можна виділяти окремі частини — підматриці, кожна з цих частин може розглядатись як деяка відповідність між підмножинами МС і СМ, або відповідними індексами, що нумерують елементи цих підмножин. Звісно, ці підмножини вибираються з огляду на потреби тих або інших задач, так чи інакше пов’язаних з факторизацією. Тобто, вибираються деякі {i}j і {k}?, між якими визначається відповідність. Якщо, скажімо, позначити ці підмножини літерами I та K, то можна побудувати відповідний мультиграф (тобто граф, де вершини можуть бути пов’язані багатьма стрілочками — морфізмами), у даному разі з двома вершинами і багатьма зв’язками — стрілочками між ними. Неважко здогадатись, що у випадку виділення багатьох різних підмножин можна дістати, у загальному випадку, різні види мультиграфів, тобто різні МАГи, так що перша літера в терміні МАГ може читатись і як «модель», і як «мультиграф». Ще раз звернімо увагу на такий дуже важливий факт: у загаль-ному випадку
Вы читаете Інформатика інвестування
