Проте, як уже зазначалося, математичні моделі мають значно меншу кількість вихідних екзогенних метапонять (Оккам!) з чітко визначеними синтаксичними правилами утворення (визначення) нових понять (ендогенних), що робить математичні результати доказовими і загальнозначущими. Можна припустити, що факторизація будь-яких систем незалежно від їхньої природи на математичні моделі і є задачею теорії систем. 2.4.2. Дві істини Розглянемо проблему факторизації при дедукції. Візьмемо трирівневу діаграму (1) підрозд. 2.2.4 і подивимося, що відбувається при переході від нижнього до верхнього рівня. Оскільки тут ми будемо розглядати тільки трирівневі діаграми напрямку І?Д (тобто від «індуктивної» до «дедуктивної» моделі при відповідному зростанні СС — див. підрозд. 2.2.4), то змінимо позначення, вважаючи: Для спрощення запису далі нижній індекс вилучатиметься, оскільки суть міркувань (використання відповідних множин) буде ясна із контексту. Зокрема, система S3 є Н-метамоделлю, а її найменування — метапоняттям. Розглянемо тепер таку Р-модель: Нехай S1 — деякі міста, S2 — їхні схеми, деякі з них можуть збігатися. Синтезуємо Н-модель S3, що є сукупністю правил побудови будь-яких таких схем, тобто S3 (як СІ) — це деякі висловлення типу: «Схема міста (будь-якого) являє собою сукупність ліній, що позначають вулиці, і точок, що позначають будівлі». Такого роду «теорія» побудови схеми міста є узагальнення S2, що є Р-моделями цієї теорії, кожна з який має відповідну Р-модель із множини S1. Застосування «теорії» побудови схем міст не обмежується системою S2, на підставі розгляду якої виникла ця теорія. Можна побудувати будь-які схеми (k = 1,…, n,…), використовуючи теорію побудови таких схем. Проте чи будуть вони істинними, тобто чи є в них відповідні Р-моделі (реальні міста)? Очевидно, не завжди. Перехід від дедукції до індукції можна наочно інтерпретувати як обертання стрілок у діаграмі типу (1) підрозд. 2.2.4, будемо говорити — перехід до ко-діаграми. При цьому в принципі на кінці стрілок може виявитися більше об’єктів, ніж було на початку стрілок у вихідній діаграмі. Ми приходимо до своєрідної ситуації, що для наочності назвемо ситуацією двох істин. З одного боку, системи побудовані відповідно до теорії S3 й істинні в тому сенсі, що можуть відповідати правилам побудови, що визначається цією теорією. Будемо говорити, що — дедуктивно (синтаксично) істинні. Якщо при цьому деяка є схемою дійсного міста (має Р-мо¬дель), то будемо говорити, що індуктивно (семантично) істинна. Не всяка , звичайно, індуктивно істинна. Проте можливі в принципі окремі випадки, коли будь-яка дедуктивно істинна модель теорії S3 є й індуктивно істинною. Теорія S3 називається в цьому випадку несуперечливою. Якщо ж будь-яка індуктивно істинна Н-модель із деякого класу дедуктив¬но істинна в теорії S3, то теорія називається повною щодо цього класу. Загальна картина така: переходячи від деяких моделей до метамоделей, ми абстрагуємося від окремих деталей, бо інакше в принципі неможливо описати за допомогою однієї моделі деяку їхню множину (відбувається факторизація моделей). У цьому випадку сфера використання метамоделей, як правило, стає ширшою за початкову множину моделей, тобто абстракція може розширити область використання, ігноруючи конкретні деталі. При розширенні сфери використання теорія стає якщо і не суперечливою, то в усякому разі невизначеною. Позбутися цієї неприємної обставини можна, скоротивши область використання теорії. Проте це вдасться зробити тільки введенням додаткових обмежень, що, як правило, є екзогенними. У цьому випадку теорія стає незамкненою. 2.4.3. Повнота чи замкненість… альтернативи пізнання Визначення понять повноти і несуперечливості не може бути суто ендогенним. Воно екзогенне і зроблене в деякій U-мові, що оперує такими категоріями, як істина (або інтерпретація), тобто мова йде знову-таки про деякі екзогенні стосовно даної теорії Р-моделі. Але в такому випадку чи можна довести повноту або несуперечливість теорії в ній самій, якщо вона «відносно замкнена»? Очевидно ні, якщо не «замикати» її тавтологіями (вона описує тільки те, що описує). Тоді здається майже очевидним, що коли вона несуперечлива (тобто має Р-моделі), то вона неповна, що й становить суть знаменитої теореми Геделя. Якщо повернутися до U-мови, то за самим визначенням цієї мови всі поняття в ній є ендогенними, але здебільшого нечіткими, погано описуваними, у сенсі відсутності «загальнозначущого розшифровування», загальнозначущого їх визначення. А як виникають загальнозначущі М-поняття в U-мові? Уявимо собі монастир. Коли в ньому йдеться про ранкову молитву, то це М-поняття розшифровується всіма ченцями однаково в тому розумінні, що після сигналу «ранкова молитва» настає та сама послідовність дії, тобто це М-поняття має одну визначену Р-модель (воно категоричне) і розшифровується однозначно (в усякому разі в даних умовах). Проте спроба відповісти взагалі на питання, «що таке молитва?» зовсім не проста. Будь-яка відповідь типу «молитва — це звертання до Бога» не є загальнозначущим у зв’язку з нечіткістю поняття «Бог», та й «звертання» нечітко навіть для ченців, бо можна молитися і не вірити. Таким чином, існують категоричні М-поняття, що кодують однакові, однозначні дії або системи, що є такими у визначених умовах (у рамках «монастиря»), але, можливо, стають неоднозначними в інших умовах. Такі М-поняття назвемо ініціальними. При побудові будь-якої моделі (теорії) L, як уже зазначалося, мають бути використані вихідні, первинні, екзогенні стосовно даної моделі поняття. Їх ми будемо називати просто вихідними, або L-вихідними. Вони не обов’язково ініціальні, хоча в математиці найчастіше такі. Крім того, вони можуть бути ендогенними в якійсь іншій моделі (теорії) R. У цьому випадку вони будуть називатися кінцевими, або R-кінцевими поняттями стосовно цієї теорії. Відповідно можна говорити про L-ініціальні і R-термі¬нальні поняття, якщо вони однозначні. Інтуїтивно здається ясним, що коли взяти за основу в даній мові ініціальні поняття і використовувати однозначні загальнозначущі синтаксичні і логічні правила їхньої композиції, то будь-яка Н-модель буде також загальнозначущою і будь-яке М-по¬няття, що індексує дану модель, матиме ту само властивість. Проте таке поняття може розглядатися як термінальне і/або іні- ціальне з точки зору якоїсь іншої моделі або теорії. Таким чином, термінальні поняття в цьому випадку також є загальнозначущими і приводять до складних вторинних ініціальних загальнозначущих М-понять. Саме так будується кожна формалізована мова, зокрема математика в цілому. Що це дає? Насамперед те, що як би далеко ми не пішли у своїх побудовах, завжди буде існувати можливість однозначно описати їх у початкових поняттях і моделях, тобто ми можемо не тільки дуже далеко зайти на основі діаграм типу (1) підрозд. 2.2.4, розширивши область моделювання, а й не погіршити описи окремих випадків, благополучно повернувшись назад («нитка Аріадни»). Іншими словами (для математики зокрема) можна уточнити принцип ефективності коректної абстракції (ЕКА) [33]: чим більш абстрактні Н-моделі, тим ширша область їх застосування без погіршення опису окремих випадків, або явно визначений характер і ступінь погіршення. При цьому ми скорочуємо перебір за рахунок абстрагування. Але, звичайно, усяка ініціальність, термінальність, повнота та інше в кінцевому рахунку такі тільки на якомусь інтервалі часу, так що, строго кажучи, треба б говорити про квазіініціальність, квазіповноту і т. д. Проте для понять математики цей інтервал, по-перше, існує, і, по-друге, він часто достатньо великий. Таким чином, будь-яка Н-модель синтезується з використанням явно або не явно виражених метапонять, і ніяка Н-модель не може бути побудована без цього. Математичні Н-моделі відрізняються від інших тим, що обрані метапоняття є ініціальними, причому це однаковою мірою стосується як їх, так і відношень між ними. Саме тому відзначив Н. Бурбакі:
Вы читаете Інформатика інвестування
