починається цікава книга Богдана Гаврилишина [53]. Ясно, що йдеться про множину «суспільств, держав…», які характеризуються у принципі різними ознаками. Тобто, з одного боку, вони різні, але з іншого, всі вони мають і спільну ознаку, що дає підстави говорити про єдину множину, яку, звісно, надалі можна дезагрегувати, чим з успіхом і займається міжнародна економіка. Читач може самостійно виконати нехитру операцію з виділення множини або множин у різних моделях. Цей процес тісно пов’язаний із загальним поняттям абстракції. Дещо перефразовуючи А. Пуанкаре, можна сказати, що будь-яка абстракція — це мистецтво називати різні речі одним і тим самим іменем. Так переходять від моделей економік, міст, капелюхів… до просто множини моделей, від знаків дорожнього руху або державних нагород — до множини знаків (моделей?) взагалі. Втім це краще за все сказано у Л. Керролла: — Множина чого? — спитала Аліса. — Нічого, відповіла Соня. — Просто множина [90]. Та при цьому ми можемо втратити відчуття реальності в тому сенсі, що почнемо займатись такою абстракцією, що в принципі не може мати Р-моделі. Слід зауважити, що надалі теорія множин і зіткнулася із серйозними суперечностями, пов’язаними з таким використанням цього поняття. Прикладом є так званий парадокс Б. Рассела: «Чи містить саму себе множина всіх множин, що не містять як елементи самих себе?» Очевидно, що і ствердна і заперечна відповідь на це запитання призводить до суперечності. Більш наочний приклад цього самого парадоксу: «Перукар голить тільки тих, хто не голить себе сам. Хто голить перукаря?» Я розглянув цю проблему в [34]. Важливо, що наявність таких парадоксів навіть у математиці застерігає нас від занадто вільного вживання ряду понять як метапонять, оскільки це дуже просто може призвести до суперечностей, що їх ми не завжди своєчасно усвідомлюємо. Таким чином, цей парадокс у математиці зайвий раз демонструє її переваги, оскільки у зв’язку зі значно меншою кількістю метапонять можливість виникнення суперечностей у ній значно менша, ніж, наприклад, у філософії чи політиці, і щоразу можна вжити ефективних заходів до їх усунення або в усякому разі виявити відому обережність щодо їх використання. Зокрема, можна ввести ще одне метапоняття — клас. «Множина» може бути елементом «класу», але не навпаки. Схоже, що це (як і суто аксіоматичний підхід, — див., наприклад, [188]) — не найкращий вихід зі становища. Можливий інший варіант викладається в [34], при якому «клас» і «множина», зокрема, — просто синоніми в рамках метапоняття «динамічна множина» (ДМ) за деяких інших домовленостей. Читач: — Не треба самореклами, якщо буде цікавою ця книга, може, проглянемо й інші теж. Як шукати щось у бібліотеці поки що, незважаючи на Інтернет, не забули. Так що розповідайте далі, і бажано по суті, але не так, як у деяких математичних книжках, де просто незрозуміло, що є суть… — Приймається, що поробиш, ніякого тобі культу особи… демократія. Для скорочень під час опису множин використовується ряд позначень. Так, m?M позначає, що m — елемент M. Якщо ми хочемо (і можемо) виділити окремі елементи, то позначення несуттєво зміняться: mі ? M, де і — позначає, наприклад, номер відповідного елемента. Далі: M1 ? M, де M1 — підмножина M; M = M1 ? M2 позначає множину, що складається з елементів, які належать принаймні одній із множин M1 або M2; M = M1 ? M2 — множина елементів, що належать водночас обом множинам. З кожною множиною, яка факторизується на ту саму множину, можна зіставити деяку характеристику, названу потужністю, або кардинальним числом. «Кантор визначав потужність, або кардинальне число, множини А як таку її властивість, що залишається після абстрагування від якості елементів множини А і від їхнього порядку» [104]. У випадку скінченних множин потужність просто збігається з кількістю елементів, для нескінченних множин — це деяка абстракція, що характеризує можливість факторизації. Потужність множини М звичайно позначається у вигляді |M|. Якщо взяти поняття множини за первісне метапоняття, то виникає бажання з’ясувати, які ще поняття можна побудувати на його основі, але так, щоб не порушувався принцип ЕКА, що і є основною метою математики (та й взагалі, по суті, як раніше казали, усіх «людей доброї волі», що не порушують ПМД та ПМВ). Найцікавіше було б спробувати визначити поняття системи, яке ми декларували теж як метапоняття. Скажімо, можна було б визначити систему як множину, на якій задаються якісь відношення, або навпаки, множину визначити як систему без відношень. Питання не таке просте, як може здатися на перший (та й на другий) погляд. Нехай читач подумає, але я тільки нагадаю, що йдеться кінець кінцем про розв’язання «задачі Анни» — ранжування і вибору альтернатив на базі моделей, що роблять цю процедуру якщо не повністю зрозумілою, то принаймні більш конструктивною, ніж, скажімо, дискусії, чому інвестор не йде в Україну. Цей «ліричний» відступ — не тільки педагогічний прийом, щоб читач не заснув або ще гірше — жбурнув книгу в кішку (кішки, як і коні, не винні), головне — не забувати, що «нема нічого практичнішого за хорошу теорію». Будемо далі синтезувати поняття (назви моделей), вважаючи, що кішка спокійно спить… 2.5.2. Відношення… і відносини Як у математиці задаються відношення? Розглянемо спочатку кілька «змістовних» (чому це слово я взяв у лапки?) прикладів. «Акт індивідуального збереження означає, якщо можна так висловитись, рішення сьогодні не обідати. Однак він не обов’яз-ково зумовлює рішення пообідати або купити пару черевиків через тиждень чи рік після цього, як і взагалі спожити визначену річ у визначений час». Це — Д. Кейнс [4]. Мова йде спочатку про відношення між «актом індивідуального збереження» — «а», тобто якимось елементом множини можливих «актів» (використовуємо процес абстракції — за Керроллом) і… теж «актом» (але іншим) — «не обідати» — «но», або «~o» (тут «обідати» позначено буквою «о», а символ «~» означає заперечення — скорочення, прийняте у формальній логіці). Як формально записати, що між цими «актами» — елементами множини «актів» — існує якесь відношення? Найпростіше — просто записати ці символи один за одним: «а, но», або «а, ~o». У такому вигляді тільки фіксується якийсь зв’язок між поняттями, звісно, без усякого уточнення його особливостей. Дещо більше можна сказати, використовуючи другу форму запису, де явно видно, що відношення існує між деяким одним елементом і запереченням іншого. Як можна було б назвати це «відношення»? Ну, наприклад, індивідуальним обмеженням… Заради чого, що є метою цього обмеження? Реалізація (або не реалізація) якихось інших «актів». Можна було б припустити, що людина не пообідала сьогодні, завтра, ще три дні, щоб заощадити гроші, покласти їх у банк, отримати за цей час проценти, а потім поїсти «на дурнячка». У такому разі відповідне відношення (з урахуванням додаткових «актів») можна було б класифікувати як інвестиційне. Та Кейнс застерігає, що такого відношення з чіткими термінами реалізації відповідних «актів» не існує або існує відношення, подальші елементи якого не реалізуються у строго визначений час. «Подовжений» ланцюжок «актів» може бути відповідно виписаний із запереченням або ні, залежно від визначення «актів» (читач може це зробити як невеличку вправу, відповідно збільшивши кількість елементів у ланцюжку). Звісно, просто формальний запис «ланцюжків» як моделей відношень без уточнення їхніх властивостей мало що дає, але є необхідним першим кроком для уточнення саме цих властивостей. Вже на цьому найпростішому прикладі видно, що насправді визначення наступних
Вы читаете Інформатика інвестування
