займатимуся країнами, фірмами, товарами… — …які являють собою відповідні...множини, вивчення відношень між якими і є основним завданням економіки. А оскільки цих відношень багато і вони складні, то й необхідно абстрагуватись від несуттєвих деталей і вивчати саме суть явищ, до чого й закликає наш студент (і не тільки). Вивчати ж суть можна тільки тоді, коли кількість понять «не буде множитись без потреби», а ще краще — коли різних слів взагалі буде мінімальна кількість, чим, власне й займається математика. А це можна зробити введенням найбільш загальних понять, що здатні завдяки їх повторенню в різних комбінаціях замінити словесне лушпиння, що іноді підміняє думки і часто зводиться до того, «як тримати кості…». І незалежно від форми запису «ланцюжків» як моделей відносин сам факт такого запису за тих умов, про які йшлося, вже дисциплінує мислення і спрямовує його у русло думок, а не констатацій фактів або уявлень про них. Може також полегшитись розуміння й інших понять та термінів, що означає більш чітке визначення відповідних моделей. Спробуйте, наприклад, визначити відношення між поняттями, що їх записано в назві цього підрозділу. Можливий варіант: «Відносини — це множина відношень». Може, це на перший погляд і банально, але на другий — конструктивно, оскільки ми використовуємо мінімальну множину метапонять, а отже, переходимо за допомогою бритви Оккама від «мудрості слів» до «слів мудрості», у принципі не порушуючи інтуїтивних уявлень, а допомагаючи їм ставати загальнозначущими (збільшувати інформативний переріз інформаційних систем). А якщо вивчати «суть» явищ, виходячи тільки із власних уявлень і знань (або їх відсутності), що сформувались під впливом випадкових обставин, то й матимемо примар, що «бродять по Європі», — диктатуру пролетаріату, економічні кризи, невдалі шлюби і багато чого іншого, породженого незнанням і комплексами. Отже, краще вже не забуватимемо про Анну і її все-таки, напевне, невдалий вибір. 2.5.3. Властивості відношень і відношення властивостей Тепер повернемося до розгляду деяких важливих окремих випадків відношень. Відношення Q2 = P називається симетричним, якщо в зумовленій ним підмножині одночасно з упорядкованою парою (m1, m2) міститься й упорядкована пара (m2, m1). Коротше це можна записати так: (m1, m2)P?(m2, m1)P, де стрілочка позначає скорочення виразу «якщо…, то…» (ім- плікація). Р — рефлексивне, якщо пари (m, m) містяться в Р. Згадуючи застосовані при розгляді матриці Анни скорочення, можна також записати цю саму умову у вигляді: ?m, mP? = 1 — умовний запис істинності виразу в дужках (із «кутиками»). Нарешті розглянемо ще одне визначення, що накладає відповідні обмеження на відношення. Відношення транзитивне за умови (m1, m2)P/\(m2, m3)P?(m1, m3)P. Якщо відношення Р задовольняє умови симетричності, рефлек¬сивності й транзитивності, то Р називається еквівалентністю. Будемо в цьому випадку позначати Р символом Е або «?». Еквівалентність розбиває підмножину M2 на класи, що не мають спільних елементів. Якщо розглянути множину, елементами якої є ці класи, репрезентовані, скажімо, їх назвами, то ця множина називається фактор-множиною вихідної множини за даною еквівалентністю і позначається часто символом M/?. Розглянемо деякі приклади фактор-множин. Нехай M — множина всіх підприємств країни. Вважатимемо еквівалентними всі підприємства, що належать одній галузі. Тоді множина галузей є фактор-множиною M за визначеною так еквівалентністю. Якщо ж вважатимемо еквівалентними підприємства, вартість продукції яких лежить у заданих межах, то дістанемо фактор-множину, класи якої визначатимуться заданими межами. Отже, визначення фактор-множини за тією або іншою еквівалентністю рівнозначне класифікації даної множини за якоюсь ознакою і розгляду всіх утворених класів як нової множини, елементами якої є ці класи. Тому модель (чого завгодно — не забувайте АТС!), яку ми позначимо для скорочення літерою С, в цьому випадку природно назвати класифікаційною (КМ). Це найпростіший тип моделей, із яких, по суті, починається будь-який опис (порівняйте, скажімо, довільну економічну книгу). Якщо фактор-множина складається з одного елемента, можна говорити про номінальну модель (НМ), що просто означає, що в множині виділяється деяка одна підмножина еквівалентних у тому або іншому розумінні елементів. Оскільки найменування є окремий випадок класифікації, а класифікація може інтерпретуватись як найменування «множин», то у принципі можна (пам’ятаючи про бритву Оккама) обмежитись одним поняттям. Для подальшого виберемо НМ, зробивши при потребі відповідні уточнення. Якщо Р — тільки рефлексивне і транзитивне, модель С називають квазіпорядковою (КПМ). Якщо Р визначене для всіх m, можна говорити про лінійну квазіпорядкову модель (ЛКПМ). В окремому випадку, якщо Р і симетричне, дістаємо КМ або НМ. Якщо ж Р антисиметричне, то (m1, m2)P/\(m2, m1)P?(m1= m3). Тоді дістаємо відповідно частково порядкову модель (ЧПМ) у загальному випадку і лінійно порядкову модель (ЛПМ) у конкрет¬ному випадку «повної визначеності». Р для ЛПМ позначатимемо символом «>», а для ЛКПМ — «?». Погано описувані системи (СІ), звичайно, на початку вивчення факторизуются на зазначені вище якісні моделі. Оскільки в економіці, біології та психології таких систем більшість, не дивно, що там особливо поширені якісні методи опису. У міру вивчення системи визначаються додаткові відношення, що дають змогу факторизувати систему на більш багаті (відношеннями) моделі. Таким чином, існує поступовий перехід від якісних до кількісних моделей шляхом збільшення множини відношень {Р}, що є факторизацією «суттєвої» підмножини відповід¬ної множини (див. підрозд. 1.7.2). При цьому деяка підмножина {Р}ш ? {Р} пов’язана зі зміною характеру множини M від чистої множини (ЧМ) [34], на яку не накладено жодних обмежень, до множини дійсних чисел R. Можна сказати, що {Р}ш визначає той або інший тип шкали. Підмножина {Р}m, що «залишилася» після факторизації на дану шкалу, є додатковими відношеннями, які можна використати для додаткових «обмежень», що накладаються на множину M. Під моделлю якоїсь системи, як правило, розуміють інформатив¬ну систему — СІ, що синтезована на основі (M, {Р}m), де {Р}ш «прихована» в множині М. Звичайно, цей розподіл погано описуваний, тому йому можна надати тільки змісту деякої прийнятої тут умови. Що стосується слова «синтезована», то для прояснення його змісту, власне, й написано цю (та й всі інші) книги, навіть з економіки. Та хіба тільки книги… А чим ми займаємось, наприклад, на екзаменах, у побуті, чи у Верховній Раді, коли «выясняем отношения». Отож не забуваймо, що бути оригінальним у цьому світі дуже важко, а може, й не потрібно. Я дозволяю собі ці відступи не тільки, а може, й не стільки для того, щоб читач не заснув над книжкою. Головне, на чому ще раз хочеться наголосити — це якісна відсутність відмінностей між так званими гуманітарними і точними науками (а також між модельєрами, мольєрами, міліціонерами і взагалі ІС) — і ті і всі інші займаються моделюванням. А різниця між ними — у кількості використовуваних різних слів за «однакової» якості моделювання. Менше їх — у «точних» науках і найменше — у Бога: «На початку було СЛОВО» (одне!). 2.5.4. Шкали Говорять, що якісні моделі, визначені вище, є шкалами порядку ШП, що репрезентують найбільш слабкі типи шкал. Нижньою межею цих типів є шкала найменувань ШН, тотожна визначеній номінальній моделі НМ (КМ). Щоб описати інші типи шкал, які виникають за
Вы читаете Інформатика інвестування
