(СІ) йтиме мова. Так, при (в основному загальноприйнятому) визначенні поняття категорії в [99, с. 240], що вже частково цитувався, сказано: «…Кожна наука має систему своїх категорій…» [там само, с. 241], але далі «…оскільки знання людини у ході наукової і практичної діяльності розвиваються, змінюються, постільки і категорії не можуть мислитись як щось застигле, незмінне». Читач: — Отакої, то «спеціаліст — подібний до флюсу», а то вже «…кожна наука…». — По-перше, це не моє визначення, а по-друге… воно правиль¬не і жодних суперечностей немає. Річ у тім, що «спеціаліст подібний…», коли не розуміє, що його «наука» (скажімо СІ1) — не найвищий рівень людських знань: СС(СІ1) ? CC(ТАС), і все ж таки бажано, щоб ці ступені системності з часом зближувалися за рахунок абстракцій, які не погіршать опис часткових СІ, але збільшать відповідні показники ІНФОРМАТИКИ (ІП, ПІ), нарешті — ЗВ’ЯЗНІСТЬ як визначальний показник. Та повернімось до другої частини визначення «логіків». Закономірно спитати: чи ці зміни викликані, так би мовити, суто внутрішніми причинами, пов’язаними з розвитком самої теорії (і тоді можна говорити про вторинність цього поняття в даній теорії), чи, може, це екзогенне метапоняття (і тоді слід розглядати одну теорію в контексті якоїсь іншої). Оскільки в останньому випадку треба якимось чином зіставляти поняття щонайменше двох теорій, то постає запитання: якою мовою це робити і взагалі, що означає зіставити? А якщо це М-поняття екзогенне для будь-якої теорії, то залишається тільки U-мова. Щоправда, нею користуються і для зіставлення не обов’язково метапонять найвищого рівня з відомим для кожного з нас результатом, починаючи з власних помилок і вічного конфлікту соціаль¬них та економічних понять і категорій в суспільстві. Тому все-таки слід спробувати визначити це поняття як ендогенне в загаль¬нозначущих поняттях, тобто в теорії абстрактних систем (ТАС) — математиці. Тепер саме час згадати ті визначення, які щойно зроблено. Оскільки схеми і діаграми — загальнозначущі поняття (що може бути більш первинним, аніж об’єкт і зв’язок — «крапка» і «стрілочка» — морфізм), то спробуємо визначити М-поняття категорії у цих метапоняттях вищого ступеня системності. По-перше, коли ми говоримо про категорію як модель, то це частинний випадок «діаграми типу…», на який «навішано» додат¬кові властивості (атрибути), щоб благополучно спуститись із найбільш абстрактних моделей до «…кожної науки…», проводячи подальшу коректну дезагрегацію (ЕКА). Для початку слід вважати, що в рамках категорії (діаграми типу…) можна на основі існуючих об’єктів і їхніх морфізмів щось сказати про композицію останніх. Тобто, якщо існують якісь зв’язки між двома довільними об’єктами («першим» і «другим»), а також між «другим» і «третім», то мають існувати і якісь зв’яз¬ки між «першим» і «третім». Якщо Україна має якісь відносини з Польщею, а остання — з Францією, то природно уявити, що існують якісь відносини і в України з Францією. Те саме, можливо, справджується для яких завгодно ІС і СІ. Так, так, ідеться про те, що раніше було названо поняттям транзитивності. — Е, нічого подібного, у мене є друзі, які в непоганих стосунках один з одним і, зрозуміло, зі мною (друзі ж). Але я вчора посварився з одним із них, тепер вже колишнім другом, який в непоганих стосунках з іншими. І нехай, я не маю нічого проти. Але коли я «перший», якийсь справжній друг — «другий», а колишній — «третій», то… …множина морфізмів від «першого» до «третього» буде всього лише порожньою… Тому в загальному випадку можна прий- няти першу умову перетворення діаграмної схеми на категорію. Попередньо для скорочення трішки змінимо позначення: множина стрілок між об’єктами, скажімо x i y, позначалась Hom(x, y). Але тут явно не вказувалось позначення схеми чи категорії. Якщо, наприклад, ідеться про множину морфізмів для схеми Т, то слід було б явно індексувати цю обставину і писати, наприклад, Hom Т (x, y). Згодьтесь, що відносини між Україною і Францією — не те саме, що стосунки Ваші з колишнім другом (звісно, останні важливіші...для Вас). Тому якось індексувати схеми і категорії треба. Візьмемо найпростіший запис: Т(x, y) := HomТ(x, y), де символ «:=« означає «за означенням» (тобто — «так захотілось»). Тепер можемо (коректно!) визначати поняття категорії, виходячи з поняття (діаграмних) схем (див. вище): 1) Для кожної трійки об’єктів (x, y, z) із категорії T існує відо- браження f таке, що: f: Т(x, y) Т(y, z) ? Т(x, z). (1) Доречно назвати цю операцію композицією морфізмів. Позначимо за аналогією з тим, як це було зроблено в підрозд. 2.6.2 у формулі (1): uxy: x ? y, де uxy ? UrT. Тобто uxy — при «тонкій» стрілочці означає якийсь один морфізм. «Образ» пари (u, v)f (Ви ж не забули про «польський» запис функцій?), для довільних u, v ? UrT позначатимемо просто uv. Тобто (u, v)f := uv. Морфізми uxy: x ? y позначають також: x y. Тоді для того, щоб діаграмна схема була категорією, крім умови (1) мають ще виконуватись такі умови: 2) Асоціативність композицій морфізмів. Для кожної трійки морфізмів x y x y: (uv)w = u(vw). (2) 3) Для кожного об’єкта x із Т існує морфізм 1x: x ? x такий, що 1xu = u і v1x= v для довільних x y і z x (тотожний морфізм). 4) Якщо пари (x, y) і (z, r) — різні, то переріз множин Т(x, y) і Т(z, r) порожній. Читачеві пропонується подумати над цими скороченими записами і над тим, що вони означають, скажімо, при різних інтерпретаціях категорій. Наприклад, у категорії економіки як СІ, торгівлю між якимись країнами можна розглядати як морфізм (або морфізми, якщо моделюється торгівля різними товарами — «дезагрегований» морфізм). Розгляньте, наприклад, три країни і подумайте, що означатимуть у цьому разі основні властивості категорій. Може, у Вас виникнуть якісь сумніви? Сподіваюсь. 2.6.4. Давайте… сумніватись Перш ніж мені вдасться наздогнати читача на його стрімкому шляху просування від поняття категорії — до категорій понять, наведу висловлювання одного з відомих російських математиків — А. Г. Куроша: «…у такій аксіоматичній науці, як загальна алгебра, не треба великого розуму для того, щоб створювати нові об’єкти вивчення. Важче їх виправдати» [108]. Це я до того, що і в математиків існують ті самі проблеми, що і в ІС інших категорій. А чому б і ні, адже математика така СІ, як і економіка, хіба що з більшим інформаційним перерізом. Якщо читач згадав, що ми все ж в іншій… категорії, то повернімось до подальшого просування на шляху до збільшення зв’язності між різними категоріями. Розглянемо деякі приклади категорій. Найпростішою, а для нас поки й найважливішою серед явно загальнозначущих є категорія множин, яку позначимо St. Об’єк-тами цієї категорії, як це випливає вже із самої назви, є множини. Що розуміється під морфізмами? Якщо Ви вже підзабули багато чого в математиці,
Вы читаете Інформатика інвестування
