все одно поняття відображення ще за принципом ІС—СІ, напевне, Ваше. Справді, це поняття навіть інтуїтивно зрозуміле як М-поняття. А проте його зміст як М-поняття з огляду на його загальнозначущість і важливість я раджу читачеві «обновити», проглянувши яку-небудь книгу з математики (і/або підрозд. 2.5.2). Усі основні визначення категорії для категорії множин, як неважко бачити, виконуються. Справді, між двома довільними мно¬жинами X, Y існують множини відображень HomSt(X,Y), серед яких (нагадаю) особливе значення мають три види відображень: 1. Cюр’єктивне (відображення «на»), коли множина X при відображенні «накриває» множину Y і кільком значенням x?X може відповідати одне значення y?Y (але ні в якому разі не навпаки — це принципова відмінність довільних відображень від відношень). 2. Ін’єктивне (відображення «в»), коли множина X при відоб-раженні «накривається» множиною Y, але кожному значенню x?X може відповідати тільки одне значення y?Y. 3. Бієктивне відображення, яке є одночасно і сюр’єктивним і ін’єктивним, тобто кожному x відповідає якесь (обов’язково) одне значення y, і навпаки. При переході до інших категорій, коли між елементами множини з’являються якісь «відносини» — відношення, тобто множина, наприклад, «стає» алгебраїчною системою (підрозд. 2.5.6), з’являються нові поняття з відповідною ієрархією. Так, при вивченні алгебраїчних систем використовується поняття гомоморфізму, яке при подальшому «розфарбуванні» — «навішуванні» атрибутів, тобто збільшенні «змісту» і зменшенні обсягу поняття «дезагрегується» на такі М-поняття, як епіморфізм, мономорфізм й ізоморфізм, що відповідають, з урахуванням відповідних відношень і деяких застережень (а яка різниця між відношеннями і застереженнями?), наведеним М-поняттям категорії множин. Мені здається, що читач тепер не запитає, чому змінено позначення (малі літери на великі), але все одно запитання він поставить: — А навіщо так докладно розповідати про досить примітивну категорію множин, нас більше цікавлять складніші категорії, скажімо, категорії груп чи категорії топологічних просторів, а ще краще, якби ми розглянули, скажімо, можливий подальший розвиток теорії категорій та її застосування. — Якщо читач скаже щось подібне, значить, він усе зрозумів, і мені не залишається нічого іншого як перейти до останньої частини його речення, оскільки про категорію груп, просторів і т. ін. — дивіться висловлювання Куроша — такий читач прочитає й сам. А що стосується категорії множин, то її «примітивність» прямо пов’язана з її загальнозначущістю. Як уже зазначалось, категорії є окремим випадком діаграмних схем [197]. Повторимо в U-мові, що це — діаграмні схеми, для кожного об’єкта яких визначено тотожний морфізм, а також спеціальним чином визначено композицію морфізмів. Якщо Т і Л — категорії, то морфізм м: Т?Л за деяких додаткових умов [52] називають функтором. Ці умови досить очевидні: функтор має бути переставним з операціями композиції морфізмів і тотожним морфізмом, тобто послідовна реалізація функтора, а потім згаданих операцій (чи навпаки) має приводити до однакових результатів. Інтуїтивно очевидне й таке поняття, як підкатегорія, — дуальна, або ко-категорія, що утворюється із первісної категорії простим «оберненням» усіх стрілок (морфізмів) на протилежні. Менш очевидні (але ж оцініть ступінь абстракції!) поняття функторного морфізму, категорії категорій і т. ін. Якщо в читача є схильність до абстрактного мислення, він від¬кладе цей посібник і побіжить в найближчу бібліотеку, якщо ж — ні, він все одно його «відкладе…» і піде на зустріч з іншими ІС, для яких згідно з принципом ІС—СІ максимізація ІП настає, якщо за СІ взято, скажімо, останній хіт групи «Metallica». Що стосується читачів, в яких є мужність зізнатись, що вони ще не знають, що їм робити, і вони… думають, то я розраховую, що вони читатимуть далі. Читач: — А якщо в мене інша спеціалізація, то навіщо мені оцей головний біль із такими абстрактними СІ? — Що стосується спеціалізації, то про відповідний «флюс», який справді приводить до головного болю, якщо спеціальність (СІ) для Вас має найвищий ступінь системності (СС), уже мовилось. А от розширення світогляду і збільшення СС якраз і можуть привести до того, що головного болю через необхідність приймати те чи інше рішення, у Вас ніколи не буде. Так що давайте сумніватись, а отже, і думати, далі разом з Анною й Оккамом. 2.6.5. Міжнародна економіка як економічна категорія А щоб все-таки не перетворитися на спеціаліста з теорії категорій, що теж може призвести до ІП, який складатиметься з його одного — досить почитати деякі вузькоспеціалізовані книги, від яких точно виникає головний біль, — наведу деякі найпростіші приклади «економічних» категорій. Розглянемо міжнародну економіку МЕ, яку можна (як СІ) інтерпретувати як підкатегорію категорії економіки. Що є її об’єктами? По-перше — держави, що утворюють відповідну множину — Д. Морфізмами між державами природно вважати різні форми міжнародних економічних відносин (МЕВ), як то: торгівля, рух капіталів, валютні відносини… Якщо у формулі (1) з підрозд. 2.6.3 дещо змінити позначення, то дістанемо вираз: f: МЕ(x, y) ? МЕ(y, z) ? МЕ(x, z), (1) де x, y, z — позначення якихось держав (x, y, z ? Д). Що означає співвідношення (1)? Почати треба з первісних визначень. Між державами x,y існують якісь форми МЕВ. Ці форми можна відповідно ідентифікувати і специфікувати, тобто визначити й виміряти на основі відповідної статистики. Вони являють собою множину морфізмів МЕ(x, y). Аналогічний зміст має вираз МЕ(y, z). Поки що це все просто позначення, і досить тривіальні. Так, (1) означає, що існує якийсь (напрямлений) зв’язок між множиною МЕВ двох перших держав і множиною МЕВ двох інших, але такий, що можливі комбінації якихось зазначених елементів МЕВ приводять до формування МЕВ між першою та третьою державами. А це вже питання для серйозного економічного дослідження, та й не одного. Наприклад, як впливає експорт товарів першої держави у другу та інвестиції другої держави у третю на міграцію робочої сили з першої держави у третю? Питання зовсім не просте, але одне з тих, що їх можна поставити вже тільки в рамках простого визначення категорії як поняття. Якщо потрібно розглянути МЕВ у «зворотному» напрямі, то, очевидно, досить перейти до ко-категорії. Цікаво, що навіть при обмеженні всього лише чотирма формами МЕВ (міжнародна торгівля, міжнародний рух капіталу, міжнародна міграція робочої сили, міжнародні розрахунки — див., наприклад, [131]), то вже в цьому випадку постають 64 аналогічні запитання стосовно відносин конкретних елементів «напрямлених» МЕВ між трьома державами. Але ж видаються цікавими й складніші питання, на які прямо-таки наштовхує формула (1): а які можуть бути співвідношення між різними підмножинами відповідних множин «напрямлених» МЕВ? А кількість таких питань, може, обчислюється вже тисячами. Сказати, що ці питання нецікаві, може тільки «неспеціаліст». Справді, хіба нецікаво визначити, як пов’язані, скажімо, разом експорт капіталів і міграція робочої сили з якоїсь однієї («першої») країни у «другу», а з цієї країни — валютні потоки, той самий експорт товарів і рух капіталів у «третю» країну з експортом товарів із «першої» країни у «третю». А що вже говорити про взаємні відносини, коли розглядаються спільно категорія МЕ і ко-категорія або всі суб’єкти (а не тільки держава) МЕ. Ясно, що навіть проаналізувати можливі теми дослідження і постановки задач у цьому (загалом не найскладнішому) випадку без комп’ютера неможливо, а для нього ж ще треба створити відповідні програми. Може постати закономірне запитання: а які ж задачі ставить і розв’язує, скажімо, сучасна МЕ, якщо скористатись виразом (1)? Це, здебільшого, задачі, коли тільки одна із множин, наприклад, МЕ(x, y) ? ?, тобто розглядаються конкретні МЕВ між двома якимись країнами або одиничні морфізми — тобто взагалі окремі країни. І це природно, бо щось інше з хоча б помічених задач навіть поставити традиційними методами досить непросто, але варто зазначити, що навіть у найпростіших випадках, використовуючи деякі поняття теорії категорій, можна і на звичне подивитися з іншого боку.
Вы читаете Інформатика інвестування
