Тепер згадаємо про «квадратну схему» (1) із підрозд. 1.4.4. Бачте, ми вже на першому етапі розглядали схеми зі стрілочками, поняття комутативності тощо, і все ж було зрозумілим, так що теорія категорій не розкіш, а засіб пересування по драбині знань. Змінимо напрям однієї зі стрілочок і відповідні позначення. Матимемо квадратну схему ? (це просто позначення, хіба можна тільки літерами?): (1) Діаграма типу ? над категорією St зведеться до заміни Ob? якимись об’єктами категорії множин (тобто ObSt) і відповідними морфізмами (в даному випадку відображеннями) цієї категорії. Можна просто в діаграмі (1) під тими чи іншими літерами розуміти відповідні поняття категорії множин. Особливий інтерес становлять такі діаграми типу ? над категорією St, для яких записана вище діаграма комутативна, тобто: f = ??? (не забувайте про «польську» нотацію). (2) При відображенні f: Х ? Y елементу з множини Y може відповідати не один елемент із X. Тому відображення f розбиває множину Х на підмножини, що не перерізаються, відображувані (кожна) на один елемент множини Y. Інакше відображення f «ство¬рює» на Х відношення еквівалентності (див. підрозд. 2.5.4) ~f. Можна факторизувати Х за цим відношенням Х/~f і відобразити Х на цю множину. Визначимо Z = Х/~f. Тоді ?: Х ? Х/~f. Тепер візьмемо до уваги, що Х може відображатися не на всю множину Y, а тільки на частину її. Позначимо цю частину символом Xf і визначимо W = Xf. Нарешті, уведемо відображення «вкладення» ?: Xf? Y. Тоді, очевидно, діаграма (1) є комутативною (рівність (2) справджується) і ми дістали теорему про розкладання будь-якого відображення f на сюр’єктивний — ?, бієтивний ? й ін’єктивний ? «співмножники». А тепер згадайте підрозд. 2.6.4, щоб з іншого боку поглянути на деякі положення теорії категорій. Ця теорема, незважаючи на свою очевидність і простоту (а мо¬же, саме тому), є, на нашу думку, однією з найважливіших Н-мо¬делей теорії абстрактних систем, яка уточнює, зокрема, інтуїтивне поняття факторизації. — Але тільки для множин, — скаже читач. — Проте будь-яке відношення — це підмножина деякої множини (порівн. (2.5). Таким чином, можна на основі тих або інших множин «…утворювати інші множини, беручи множину їхніх частин або укладаючи декартів добуток» і т. ін., а потім «застосувати до новоутворених множин — ті самі операції» [41], тобто утворюється «шкала множин» із тією або іншою базою. Для деякої множини (метамножини) М шкали можна задати якісь явно сформульовані властивості загального елемента цієї множини (метамножини). Нехай Т — переріз частин множини М, зумовлених цими властивостями. Тоді говорять, що якийсь елемент множини Т визначає на базових множинах «структуру роду Т» [41]. Це саме М-поняття зручно подати і мовою теорії категорій (схем). Побудуємо підкатегорію ВSt категорії множин St з об’єктами ОbBSt ? ObSt і морфізмами — усілякими бієктивними відображеннями зі звичайно зумовленою композицією [37]. Тепер визначимо деякий функтор F: BSt ? BSt. Цей функтор назвемо родом структури, оскільки його «властивості», що задаються, наприклад, аксіоматично, визначають «властивості» структур — результатів морфізму F. Будь-яку конкретну структуру (котра завжди може розглядатися як елемент деякої множини з ObBSt) природно назвати структурою роду F. Чим цікавий такий підхід? Тим, що він дозволяє, зокрема, визначати властивості за допомогою морфізмів, чим я і скористаюсь надалі. А тепер — Р-модель, знання якої (або хоча б про яку) буде корисним читачеві. Нехай, наприклад, А — множина, F — множина усіх відображень на саму себе декартового добутку (однієї множини на саму себе) — F: А ? А ? А. Ці відображення визначають на А деякі бінарні алгебраїчні операції, скажімо, асоціативні, з одиницею, щодо яких кожний елемент має обернений. Оскільки А довільне, F можна вважати функтором із BSt у BSt, тобто родом структури. Зокрема, при зазначених «властивостях» F — рід структури групи і будь-яка група — структура роду F. Читач: — Оккам перевертається у домовині, бо простими і зрозумілими словами, скажімо, «група» називається казна-що. Хоч я і розумію, що абстрагування необхідне для реалізації ефективного вибору (тобто «правильного» рішення задачі Анни), все-таки, здається, правий математик Курош, який цитувався вище. Звісно, не будемо згадувати відому українську приказку, але питання я все-таки задам: а що, власне, спільного, хоч би на рівні асоціацій, між «нормальним» поняттям групи і цим перевертнем? — Якщо «на рівні…», то давайте розглянемо якісь системи, ну добре, Вас, шановний читачу, чи держави, чи фірми, чи… Читач: — Ну все, заклинило… — Дякую. Нехай держави. Якщо між якоюсь їхньою підмножиною існують такі зв’язки, наприклад з обміну товарами, що вони взаємно урівноважуються, то такі держави утворюють… групу… держав, що об’єднані, скажімо, у рамках спільного ринку і мають відповідно взаємно збалансований експорт і імпорт. І взагалі, група може створюватись і стабільно існувати, якщо «я — тобі, ти — мені», тобто «кожний елемент має обернений» (дивись вище). — Який ще в дідька «елемент»? У групі ж не обов’язково «обертатись» вниз головою або спиною до іншого члена групи? — Ідеться про форми відносин, скажімо, торгівля чи любов (ні, ні, група може бути й з двох осіб). І взагалі ж, ми домовились про асоціації. Інакше, якщо вже читач трохи відпочив, то елементами, що «мають обернений», можуть бути, наприклад, морфізми, функтори, відносини, відношення… Може вже підемо далі? — Далі вже нікуди, та спробуємо, може автора ще десь кудись «поведе», все ж дещо незвично для математики. — Так от, рід структури тісно пов’язаний із Н-метамоделлю (теорією) структур даного роду. Якщо всі структури при цьому ізоморфні, то теорія однозначна, у протилежному випадку — багатозначна (ті самі терміни, можливо, є сенс відносити і до роду структури F як функтора). «Теорія цілих чисел, теорія дійсних чисел, класична Евклідова геометрія — однозначні теорії, теорія упорядкованих множин, теорія груп, топологія — багатозначні теорії. Вивчення багатозначних теорій — найвиразніша риса, що відрізняє сучасну математику від класичної» (Н. Бурбакі [41]). Чи не здається читачеві, що це зауваження одного із найпродуктивніших колективів математиків ХХ століття дає велику надію на те, що і сучасні гуманітарні науки, які не те що багатозначні, а просто анархічні, стануть більш цивілізованими і, можливо, досить скоро «… прийде час, коли фізіолог, поет і філософ розмовлятимуть однією мовою і розумітимуть один одного» (цит. за [210]). Я здогадуюсь, що після цієї цитати читач про себе подумав: «не дай боже». Але коли він згадає всі управлінські місця, де сидять «поети і філософи», через що, можливо, ми ніяк не вийдемо з кризи, він відмовиться від частки «не». Повертаючись після цієї майже поетичної ремарки до строгої математичної дійсності, слід, напевне, констатувати, що будь-які математичні структури можна значною мірою описати, базуючись тільки на понятті множини, що по праву може вважатись основним метапоняттям сучасної математики (ТАС), але не АТС (це вже моя примітка, щоб заінтригувати читача, який до цього готовий). Читач:
Вы читаете Інформатика інвестування
