Отже, якщо ця умова порушується, то я стверджую, що порушується ПІБ. Бачте, яка проста інтерпретація можлива мовою теорії категорій. Володя (студент): — А як тоді трактувати ПМД і ПМВ у цій мові? — Питання непросте, але, як на мене, визначальне. Подумаймо, з чим можна асоціювати «стрілочки», коли повернутись до мови алгебраїчних систем і розглянути якусь одну систему… Напевне, з відповідною сигнатурою, а об’єкти — з базовою множиною. Для початку розглянемо крайній випадок — стрілочок взагалі немає, тобто сигнатура порожня. Що матимемо? Чисту множину (ЧМ), яку, підозрюю, ми собі уявити не можемо, хіба що у вигляді «білого дракона», що символізується чистим аркушем [34]. Якщо відобразити цю множину сюр’єктивно (пор. підрозд. 2.6.4) на якусь іншу або на свою ж частину, то це означатиме зменшення кількості елементів (нагадую, розглядаються множини в рамках моделі «скінченної нескінченності», інтуїтивно — просто скінченні множини [34]). Але що означає в такому контексті сюр’єктивне відображення, якщо відображати множину «на себе»? Тільки те, що ми ввели якусь сигнатуру, що «склеїла» елементи базової множини. Інакше дедуктивний компонент зменшує індуктивний, або «індукція» і «дедукція» взаємозв’язані за таким собі «принципом доповняльності»: «чим більше дедукції, тим менше індукції, і навпаки.» А це інакше означає, що одну і ту саму систему можна подати в різних формах — із різною сигнатурою і, відповідно, різною базовою множиною, але це може бути одна й та сама система, тобто всі ці подання ізоморфні. Це — дуже суттєва зміна загальноприйнятого розуміння цього поняття. Відповідно може бути узагальнено і поняття гомоморфізму як відображення, що виникає при збільшенні сигнатури системи (доповнення сигнатури ще якимись відношеннями), що «склеюватимуть» якісь елементи базової множини (узагальнений гомоморфізм) [34]. — Але ж тоді виходить, що ми можемо моделювати одну систему зовсім іншою, що має зовсім відмінну сигнатуру і елементи? — Так, що ми, власне, і робимо щомиті. Але якщо ми синтезуємо моделі якоїсь системи (МС) іншою системою (СМ — згадаймо позначення із підрозд. 2.2.1) в іншій сигнатурі і при цьому хочемо «зрозуміти» вихідну систему з її сигнатурою і базовою множиною, то треба не привносити якихось «додаткових» відношень, які зроблять модель не ізоморфною моделі вихідної системи. При цьому можливі помилки двох типів: або буде більш ніж «слід» відношень (предикатів) — порушується ПМД, або їх буде недостатньо — порушення ПМВ. А що це, власне, означає, якщо згадати про поняття «чистої множини»? Тільки те, що в першому випадку «чиста множина» буде меншою, ніж у МС, а в другому — більшою, або...навпаки. Іра: — А останнє слово вже не відповідає первісним визначенням. — Але можна зробити, щоб відповідало, коли визначити, що ПМД порушується, якщо «чиста множина» збільшується за рахунок домислів — привнесень додаткових елементів або відповід¬но зменшується, що приводить до «відповідної невідповідності» — порушення ПМВ. Слід у загальному випадку, одначе, зауважити, що ізоморфізм між МС і СМ — явище досить рідкісне, якщо взагалі можливе. У житті ми завжди маємо справу, як правило, із гомоморфізмом, що виражається в логіці імплікацією, якщо мати на увазі «відображення змісту», тобто сигнатури, або стрілочок (їхня кількість при цьому зменшується). Але водночас збільшується обсяг чистої множини, так що стосовно позначень у логіці теж можуть бути деякі питання. Що стосується зауважень до понять діаграмної схеми і діаграми, то тут справді треба бути обережним і мати на увазі, що морфізми діаграми в діаграму — вислів не досить коректний, хоч, між іншим, і дуже цікавий. Коректніше говорити про морфізми однієї схеми в іншу і про діаграми одного типу над якоюсь схемою (див. визначення в підрозд. 2.6.2). Оксана: — Може, все-таки досить і повернемось до обіцяних конкретніших питань? 2.7.4. «Повторення — мати навчання» Розглянемо, як про це вже раніше мовилось, морфізм АСА-діаграми, а точніше — її діаграмної схеми, скажімо, в якусь цікаву категорію, наприклад «управління», де чи не основними поняттями є «план» і «програма». Іншими словами, спробуємо синтезувати одне з можливих визначень цих понять та їхніх моделей як деяких ендогенних М-понять у рамках визначеної моделі, чи то пак категорії. Але, незважаючи на те, що читач може й все знав, припустимо, що вже щось забув або… не зовсім той читач. Тому обговоримо вже дане наприкінці підрозд. 2.7.2 коротке визначення цих понять докладніше, починаючи з «азів». Про поняття плану і програми вже йшлося раніше, як про одні з найважливіших понять управління (згадайте програму побудови комунізму чи програму діяльності Кабінету Міністрів України, якої ми вже торкалися і торкатимемося в наступній частині). Зміст цих понять як моделей чи категорій, м’яко кажучи, неясний з огляду на відсутність загальноприйнятих визначень [30]. Розглянемо одну з можливостей їх визначення як деяких ендогенних М-понять у рамках визначеної моделі. У цьому разі за екзогенні (такі, що не визначаються в даній моделі) вибираються інші поняття (інколи вищого ступеня системності — метапоняття), а «план» і «програма» індексують цілком визначені підмоделі (моделі меншого ступеня системності) обраної моделі з її ендогенними поняттями (порівняйте підрозд. 2.4.2). Але для початку розглянемо в іншому аспекті послідовність синтезу самої АСА-діаграми, а все інше …в наступному підрозділі. Виберемо як ендогенні поняття системи, функції, цілі… тобто категорії АСА-діаграми, що спочатку розглядатимуться просто як якась множина понять чи категорій без явного визначення морфізмів між ними. Звісно, вони теж можуть розглядатися як екзогенні в якійсь іншій моделі, але тут вважатимемо їх ендогенними. У загальному випадку варто було б перелічити всі екзогенні поняття, виділити серед них метапоняття і зв’язки між ними і т. ін. У аксіоматичних моделях (теоріях-метамоделях) так у принципі й робиться. Проте обмежимося звичайною процедурою, характерною поки для прикладних теорій, коли деякі екзогенні поняття просто «позичаються» з інших моделей (теорій) «без посилань» (порівняйте підрозд. 2.4.3, де обговорювались L-ініціальні і R-термі¬нальні поняття). Природно, жодна теорія не може обійтися без екзогенних понять, але у формалізованих мовах їх просто менше, що і дає змогу математиці «заощаджувати мислення». Ступінь зменшення кількості екзогенних понять звичайно фік-сується інтуїтивно в найпростіших порядкових шкалах (добра або погана теорія і т. ін.). Будь-яке визначення, зокрема, тільки тоді вдале, коли заміна одних понять іншими приводить до зменшення їх загальної кількості. Іноді «визначення» мають «пояснювальний» характер, не зменшуючи загальної кількості понять, а тільки замінюючи одні іншими (визначення, що не факторизують). У цілому це все добре описано в книгах із логіки, які в усіх випадках читачеві буде цікаво прочитати (якщо він ще цього не зробив). А тепер спробуємо перейти до більш коректних визначень, тобто до ілюстрації синтезу моделей, збільшуючи множину вихід¬них понять. Оксана: — Оце такої, знову «зменшення» шляхом «збільшення» — це що за дивна «діалектика»? — Звичайна, збільшити можна на одну-дві одиниці СІ, а змен-шити в результаті цього «збільшення» — на порядки, що і є головним завданням науки. При цьому деякі поняття вводитимуться на інтуїтивному рівні, хоч у принципі вони могли б розглядатися як М-поняття. Повернемось до основної теми й розглянемо для початку трохи інший шлях синтезу АСА-діаграми. Розглянемо динамічний граф — біграф Bt [32], який визначимо інтуїтивно як напрямлений граф, зв’язки якого і матриця суміжності залежать від часу. Ми з читачем вже стикалися, по суті, із цим поняттям у поперед¬ніх розділах, та й саме поняття досить наочне. Зазначений біграф розглядатимемо як (динамічну) схему типу двох суміжних прямокутників — ?? зі спільною суміжною стороною (порівняйте «квадратну схему» з підрозд. 2.6.6) та потрібною кількістю вузлів на кожній зі сторін. При цьому зв’язки в даних прямокутниках на
Вы читаете Інформатика інвестування
